Skale mjerenja

*** Ovaj post nalazi se i na novom web mjestu: https://matia.torbarina.eu/blog/skale-mjerenja/ gdje možete pronaći još zanimljivih tema!

Zašto ne mogu reći da je danas duplo toplije (10 Celzijevih stupnjeva) nego jučer (5 Celzijevih stupnjeva)? Stay tuned...

Mjerenje je pridavanje broja nečemu prema unaprijed dogovorenim pravilima. Pa smo se tako dogovorili da će nam jedinica za udaljenost biti 1 metar što je ekvivalent udaljenosti koju svjetlost prijeđe u 1/299.792.458 sekunde. Za razliku od fizičara, ili inžinjera koji, više-manje koriste iste instrumente za mjerenje (termometar za temperaturu, metar za udaljenost...), mi društvenjaci najčešće mjerimo nešto 'oku nevidljivo' što nam otežava dogovor oko mjerne jedinice za to nešto.

Recimo da vas zanima ima li smisla čitati išta od ovoga a odluku o tome donijet ćete nakon što ustanovite čitate li misli glupana (nekog s niskom inteligencijom) ili genijalca (nekog s visokom inteligencijom). Nadam se da nemate previsoka očekivanja. Obzirom na to tko će mi izmjeriti inteligenciju ona će (malo, ali svejedno) varirati:

 

 - ako je mjeri zgodna cura bit će niža,

 - ako test rješavam u 3 ujutro usred noćnog izlaska bit će malo niža,

 - ako mi kažete da imam 5 minuta za ispuniti test - malo će mi niža biti,

 - ako ispunjavam test koji sam već ispunjavao - bit će malo viša...

Stvar je da će moja (stvarna) inteligencija biti uvijek ista, razlika u inteligenciji obzirom na gore navedeno ne znači da sam kroz dan malo glup i malo više glup nego nemamo "metar" kojim ćete uvijek i svi u decimalu izmjeriti moju inteligenciju. No, dosta o uvodu...

Naziv posta su skale mjerenja. Zašto su skale mjerenja bitne.. Zavisi koga pitate, ako pitate mene - stvar je općeg znanja, ako pitate studenta vjerojatno će reći zato što je profesor rekao da su bitne.. Na sreću, nema ih puno, samo četiri prema  Stevens (1946): 

 

 - Nominalna, 

 - ordinalna, 

 - intervalna i 

 - omjerna. 

 

Poredane su obzirom na količinu informacija koju sadržavaju od najjednostavnije do najsloženije. Kao i u životu, od puno nečega možemo napraviti malo nečega, ali od malo nečega ne možemo napraviti puno nečega (drugim riječima, stremite ka korištenju omjernih i intervalnih skala).

Nominalna skala - najgluplja skala. Sadrži jednu jedinu informaciju a ta je da su dvije (ili više) stvari drukčije... Dakle, da je auto crven ili zelen, da netko živi u Zagrebu ili u Splitu i naravno da je netko muškarac ili žena. Odlučimo li se ispitati tko više posjećuje Tower centar (trgovački centar u Rijeci) a tko više ZTC (još jedan trgovački centar u Rijeci), muškarci ili žene, moramo prikupiti dva podatka o svakom ispitaniku: u kojem trgovačkom centru smo ga/ju ispitali i kojeg je spola. Recimo da smo zaustavili prvih 10 kupaca na koje smo naišli ulaskom u svaki od trgovačkih centara - završili smo s tablicom 10x2 (red x stupac, ako ne možete zapamtiti, abeceda, "r" je prije "s") prikazanoj na Slici 1.

 Slika 1. Izgled tablice  s podacima o razlici u broju muškaraca i žena u određenom trgovačkom centru

Što možemo sa stupcem spol? Možemo li izračunati artimetičku sredinu spola? Ne možemo (zapravo možemo jer je ovo poseban slučaj nominalne varijable kada imamo samo dvije vrijednosti, tako da aritmetička sredina se može izračunati iz koje možemo iščitati koliki je postotak ispitanika u jednoj, odnosno drugoj grup ali o tome drugom prilikom). Možemo li izračunati standardnu devijaciju? Ne možemo (isto kao i aritmetička sredina, zapravo možemo ali samo zato jer imamo dvije grupe). Jedino što možemo je izbrojati koliko je muškaraca a koliko žena u našem uzorku i eventualno izraziti taj broj u postotku. To je sve. Ne možemo reći tko je "bolji" ili kvantificirati (brojčano opisati) na bilo koji način odnos između grupa. Jedan od "odokativnih" znakova za prepoznavanje nominalne skale je - ako nečemu možete dati ime - mjereno je na nominalnoj skali! 

 

(Neki) od primjera su:
šifra ispitanika,
grad/država iz koje dolazi,
fakultet koji je upisao/la,
bračni status,
živ-nije živ,
visok-nizak...
Stop, stop, stop, skoro... Visok-nizak ne mjerimo na nominalnoj skali (jer znamo da je onaj tko je visok, viši od onoga tko je nizak) nego na...

Ordinalna skala -  malo manje glupa skala. Nekad davno, prije nego su se moji drugovi rasuli po cijelom svijetu, testirali smo tko može najviše popiti. Iako nismo znali koliko je tko popio, ni koliko je tko dugo bio "tu", upamtili smo, nekako, da je Deba pobjednik (zadnji je ostao na nogama), slijede ga Grle, Bili, Žile, Manga, Krkan, ja i Crni (naravno da su imena izmišljena, u biti posuđena iz jedne druge priče). Muško društvo je vrlo hijerarhijski organizirano - zna se točno što je čiji forte, tko može najviše popiti, tko se najbolje tuče, tko najbolje bježi, stručnjak za igrice, cure, aute itd. Svi smo vrlo dobro znali da je Manga - manga, a Krkan - krkan u PES-u (nogometnoj igrici). Ako znamo naša imena i navedene dvije rang liste završit ćemo s tablicom 8x3 (Slika 2).

Slika 2. Rang lista muškog društva  u ispijanju alkohola i igranju PES-a

Za razliku od nominalne (varijabla "Ime ispitanika" je nominalna, nadam se da smo to usvojili) gdje znamo da je Deba-Deba a Grle-Grle i to je to, na ordinalnoj Rang-lista (ispijanje alkohola) znamo da je Deba - najveći pijanac (od testiranog društva) dok je Crni najmanje popio (od testiranog društva). Ne znamo koliko je tko od njih popio... Možda je Deba popio 5,1 litru vina a Crni 4,9 litre vina, što je razlika od 2 dcl što znači da su sve to pijanci a možda je Deba popio 1,5 dcl pive dok je Crni popio 0,03 dcl što bi značilo da nitko od njih nije predugo virio u čašu. U svakom slučaju, Deba je popio više od Crnog, koliko - ne znamo. Jesu li bolesni? Obzirom na količinu popijenog alkohola - ne znamo, obzirom na činjenicu da umjesto da vani love cure rade Excel tablice - moguće.
Primjeri ordinalnih skala su
svi rangovi, ako rangirate studente prilikom upisa - ordinalna skala,
ako ste poredali svoje najdraže filmove na top listu - ordinalna skala...

Intervalna skala - uu, ova je zaje*ana... njena glavna prednost nad ordinalnom je činjenica da saznajemo koliko iznosi razlika između dva mjerenja. Njeno drugo obilježje je "ekvidistatnost" (ili ekvidistantnost, nisam siguran) između stupnjeva. Što bi laički značilo da je razlika između 50 (nečega) i 51 (nečega) jednaka razlici između 100 (nečega) i 101 (nečega). Predstavnik intervalne skale je Celzij. Temperatura u Celzijevim stupnjevima (ili u Fahrenheitima) je prava pravcata intervalna skala jer znajući da je danas toplo 10 C, a da je jučer bilo 5 C, znamo ne samo da je danas toplije, već i za koliko je toplije nego jučer.

Nažalost, ne možemo reći da je danas dvostruko toplije nego jučer - zato što ne postoji "prava nula" (na Celzijevoj skali) no o njoj detaljnije nešto kasnije. Recimo da nas je zanimalo u kakvoj su vezi tjelesna temperatura (prilikom rješavanja testa iz statistike) i znanje iz statistike (mjereno testom na skali od 0-10). Primjer rezultata prikazan je na Slici 3.

Slika 3. Tjelesna temperatura i znanje iz statistike kod mušakaraca i žena

Kao što vidimo, za razliku od ordinalne skale, sada možemo reći ne samo da je ispitanika u prvom redu ostvario viši rezultat na testu, već znamo i da je razlika u odnosu na ispitanika u drugom redu 3 boda. 

 

Kako sam i najavio, koncept "prave nule" možda će biti jasniji kada pogledamo zadnjeg muškarca u uzorku (s rezultatom 0 na Znanju iz statistike). Rezultat od 0 ne znači da taj ispitanik nema apsolutno nikakvo znanje o statistici (možda su pitanja bila drukčija od onih za koja je učio, možda se zbunio pa zaokružio krive odgovore itd.) već to jedino znači da je na ovom ispitu ostvario 0 bodova. Jednako bi bilo i da mu testiramo stav o upisu određenog fakulteta, u biti bilo što, što ne možemo direktno izmjeriti metrom, toplomjerom, kamerom, satom ne može imati 'pravu nulu'.

Razlog zašto je ova skala zaje*ana je taj da se (mi, ako smijem) znanstvenici često pravimo da psihološke karakteristike ljudi (njihove, stavove, vjerovanja, motive, emocije) mjerimo intervalnim skalama (poput Likertove skale ili semantičkog diferencijala). Recimo, ako vaš momak ili djevojka na skali stava prema strastvenoj ljubavi (Upitnik stava o ljubavi) ostvari rezultat od 10 bodova a vi 15 bodova (npr.) znači li to da je razlika između 15 i 10 jednaka razlici između 5 i 10 bodova? Teško, obzirom na to da je vaša ocjena posljedica ne samo vašeg stvarnog stava već i svega onoga što vi jeste (koncept ljubavi, koncept strasne ljubavi itd.).

Razlog zašto se volimo praviti da su to sve ipak intervalne skale (veoma bitan dio) je taj da tek na intervalnoj skali smijemo računati aritmetičku sredinu a samim tim i cijeli niz drugih statističkih postupaka (što bi značila aritmetička sredina ranga trkača?) i to je u redu, za sad. Ali, budite svjesni što radite kada to radite.

Primjeri intervalnih (i onih za koje se pravimo da su intervalne) su

 - sve psihološke mjere (motivacija, inteligencija, vjerovanja, stavovi...),

 - temperatura u Celzijevima i Fahrenheitima pa čak i

 - godina (2020., ako razmislite, vrijeme ne računamo od početka vremena već od prije 2020 godina).

Omjerna skala - šlag na kraju... Omjerna ima sve što i intervalna (a intervalna sve što ordinalna i ordinalna sve što i nominalna) + mogućnost uspostavljana omjera! A to je dodatna informacija koju intervalna varijabla ne pruža... Pa tako možemo reći da ako smo počastili 5 djevojki pićem to znači da smo počastili 2,5 puta više djevojki od kolege koji je počastio (samo) dvije djevojke. Ako zarađujemo 100 kn dnevno to znači da zarađujemo 10 puta manje od nekoga tko zarađuje 1000 kuna dnevno itd. itd. Sve što možemo direktno mjeriti (fizički postoji) poput novca, broja ljudi, duljine kose, količine alkohola itd. je omjerna skala. Opet, nazad na "pravu nulu" - kod omjerne skale 0 znači potpuno odsustvo mjerenog. Čovjek ne može biti 0 cm visok - to znači da (taj čovjek) ne postoji, ako smo popili 0 pića to znači da nismo ništa popili, ako u gradu živi 0 ljudi - to znači da u gradu nitko ne živi itd.

Omjer rezultata dvoje ljudi ovisi jedino i isključivo o njihovim apsolutnim rezultatima a ne o tome gdje je (arbitrarno) nula (ishodište) postavljeno. Je li svijet danas dvostruko stariji nego 1010. godine? Nije, ali je dvostruko dalje od (navodnog) Isusovog rođenja (ako smo se već dogovorili da od tad računamo vrijeme)!

Recimo, da smo htjeli saznati koja je veza između broja dodavanja koji prethode pogotku i ranga protivnika protiv kojeg smo igrali. Rezultate bismo mogli prikazati ovako:

Slika 4. Broj dodavanja prije postizanja prvog pogotka i rang protivnika

U tablici smo prikazali 3 varijable (svaka od njih je mjerena na svojoj skali mjerenja, nadam se da već znamo koja je na kojoj). Obzirom da je broj dodavanja mjeren na omjernoj skali, možemo zaključiti da je Hajduk odigrao dvostruko više dodavanja prije postizanja gola kad je igrao protiv trećega na ljestvici nego kad je igrao protiv sedmoga na ljestvici.

Umjesto zaključka

Recimo da smo izmjerili visinu grupe ljudi u centimetrima. I još recimo da nam tablica izgleda ovako:

Slika 5. Mjerenje visine na svim skalama

Vjerojatno možete i sami, al' još ovaj put ću ja:

U zadnjem stupcu imamo visinu mjerenu u centimetrima (na omjernoj skali, prvi ispitanik je 1,14 puta viši od zadnjeg ispitanika, ako ne vjerujete - kalkulator u ruku i računajte).

Zapamtite ovaj osjećaj koji ćete dobit kad vam kažem da netko tu istu visinu može prikazati na skali od 0-30 gdje je 0 = 165 cm a 30 = 195 centimetra (intervalna skala jer je razlika između 30 i 0 = 30 isto koliko i razlika između 195 i 165 = 0 ali ne možemo reći da je prvi ispitanik 5 puta veći od zadnjeg ispitanika - jer nije). Jeste zapamtili osjećaj nevjerice i uzaludnosti ovako nečega? Pitate li se: "Pa zašto bi itko na svijetu tako prikupljao visinu?? Šta nije lakše pitat ljude koliko su visoki i zapisati taj broj??" - good, imajte ga i dalje.

Drugi stupac (s lijeva) je još gori, tu smo ispitanike poredali po visini pa znamo da je prvi ispitanik viši od zadnjeg (ali ne znamo za koliko, možda za 50 cm a možda za 0,00001 cm).

U predvorju smo 9. kruga pakla (nadam se da do sad već znamo na kojoj skali bi mjerili krugove pakla) te prikupljanjem visine na način da visinu mjerimo tako da ljude nazivamo Visok-Nizak  ulazimo na počasno mjesto... (mala, mala napomena, ako ćemo cjepidlačiti, a uvijek treba, ovo je i dalje ordinalna skala jer znamo da je netko tko je Visok viši od nekog tko je Nizak ali ne postoji krug u paklu u kojem bih našao mjesto da sam one koji su Visoki nazvao Pero a one koji su niski Jure pa sam onda ovako napravio, nadam se da sam uspio prenijeti poruku).

Dozovite onaj osjećaj i odgovorite na sljedeće pitanje: zašto bi itko, ikad, dob ispitanika bilježio na sljedećoj skali:

a) 18-25

b) 26-39

c) 40-87

Do sljedećeg puta!
Matia